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四则运算的产生与演变

——读《数学基本思想18讲》第一部分

徐小娟

对于人们的日常生活和生产实践，四则运算是极为重要的。

一、加法：加法有两种抽象方法，一种是基于内涵的，一种是基于对应的。

1、基于内涵的加法

皮亚诺算术公理体系定义了自然数，同时也定义了加法，因为在“后继数”的定义和表达中，用到了“+1”的运算。并且，从“+1”运算出发，可以推导出所有自然数的加法，据此可以说：加法是“+1”运算的复合。

基于“+1”的经验，可以定义加法运算。对于任意a∈N, b∈N，规定运算a+b表示在a后面增加b个后继的序数，如果这个序数为c，则称c为a与b的和。称这样的求和运算为加法，记为a+b=c。

2、基于对应的加法

比如3+1=4。左边呈现3个方块添上1个方块，右边呈现4个方块。□□□←□    □□□□问哪边的方块多？于是，就在这个直观的基础上，向学生解释加法的算式： 3+1=4。

正如前面反复强调的那样，数学研究的不是概念本身，而是概念之间的关系。因此，这样解释加法就突出了两个量之间的相等关系：左边=右边。进而揭示了符号“＝”的本质含义：符号两边讲述的是两个故事，符号表示这两个故事中的数量相等。由此可以看到，通过这样的教学，既可以让学生感悟“数量相等”的本质，又可以让学生感悟到加法运算的基本特征，即加上一个正整数比原来的数大。

二、减法

把加法运算由自然数集合扩充到整数集合。加上一个正数，比原来的数大；加上一个负数，比原来的数小。有了整数集合上的加法，就可以在整数集合上定义减法：对于任意a∈Z, b∈Z,   a-b=x → a=b+x。

三、乘法。

1、在自然数集合上：乘法是加法的简便运算。比如，12=4×3是由12=4+4+4得到的，这是3个4相加的简便运算。一般地，对于任意a∈N, b∈N,有a×b=c ←→   a+a+...+a（b个a相加）=C。

2、在整数集合上：乘法不是加法的简便运算。是通过交换律和分配律把自然数集合上乘法运算扩充到整数集合。

四、除法

我们可以利用倒数来定义有理数，然后把整数集合扩充到有理数集合。建立了有理数集合，很容易把乘法运算从整数集合扩充到有理数集合。基于有理数集合上的乘法，可以定义除法。

对于a∈Q, b∈Q,    a÷b=y  →   a=b×y。

上述四种运算统称为四则运算，四则运算是数的运算中最基本、最重要的运算。减法、乘法和除法运算都是基于加法的，由加法的逆运算产生了减法，由加法的简便运算产生了乘法，由乘法的逆运算产生了除法；为了逆运算的封闭性，必须对数的集合进行扩充，在自然数集合、整数集合、有理数集合上都可以进行四则运算，但只有有理数集合对于四则运算是封闭的。

五、从算术到代数

把数学运算抽象为符号运算，是现代数学得以发展的基础。韦达把方程由数学系数抽象到了字母系数，研究出方程的根与系数之间的关系，人们称为韦达定理。基于字母的数学运算，一方面，字母可以像数一样进行运算；另一方面，通过字母得到的结论具有一般性。

数量和数量关系抽象过程经历三个阶段：简约阶段，抽象出数量、用古典表达来表述数量；符号阶段，建立十进制系统、用数字符号和数位原则定义自然数；普适阶段，在方程等数学表达式中用字母代替数字符号，得到更一般的数学结论。