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演绎推理——经典三段论之全称肯定型

——读《数学基本思想18讲》第二部分第十一讲

张冰清

经典三段论是一个包括大前提，小前提和结论三个部分的论证形式。因为其中涉及三个性质命题，因此属于简单推理。通过下面的讨论可以看到，三段论保持了逻辑推理的特征:三个命题的所指项，或者所指项的等价物始终出现在这些命题之中。三段论有不同的类型，亚里士多德称之为格，最初亚里士多德定义了三种格，后来经院学者又增加了第四格。但现在人们已经证明，后三种格都可以归结为第一格。第一格又分为四种型，对于这四种型，亚里土多德举例如下:

全称肯定型:凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。

全称否定型:没有一条鱼是有理性的，所有的鲨鱼都是鱼，所以没有一条鲨鱼是有理性的。

特称肯定型:凡人都有理性，有些动物是人，所以有些动物是有理性的。

特称否定型:没有一个希腊人是黑色的，有些人是希腊人，所以有些人不是黑色的。

从上面的阐述中看到，虽然亚里土多德讨论的不是数学问题，但已经搭建了数学证明的形式框架，这个框架可以保证推导出的结论与前提一样可靠，也就是说，基于这样的论证形式，如果前提为真，那么结论也为真。下面，我们讨论全程肯定型的三段论与数学推理的关系。

全称肯定型。专业术语是AAA型。亚里士多德给出的例子是:

凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。

这个推理是由三个性质命题组成的，分别称为大前提、小前提、结论。这种形式推理的正确性是不言而喻的，甚至可以认为这个形式的推理是多此一举:所有人都会死，苏格拉底这个具体的人当然也会死。但是，这样的论证形式在日常生活中，特别是在数学证明中却是非常重要的。

在三段论中，结论反而不是最重要的，关键在于前两条是否成立。第一条通常是一个已知事实，比如，公理或者假设，因此，数学证明的重点往往是第二条，即中间命题项。比如，在平面几何中，证明四点共圆的问题是比较困难的，但证明的思路却是简单的:

对角和为180°的四边形的四个顶点共圆，如果能够证明这个四边形有一组对角和为180°，那么这个四边形的四个顶点共圆。

在这个证明的过程中，最困难的地方是:证明小命题成立，即证明"这个四边形有一组对角和为180°。下面，通过三段论的两种省略形式进一步分析中间命题项的重要性。

省略大前提。之所以省略大前提，是因为人们往往认为大前提是人所共知的，所以可以省略。这样推理形式为：苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。

省略小前提。省略小前提往往是为了叙述的便捷，把小前提与结论一起阐述了。推理形式为：    凡人都有死，所以苏格拉底有死。

上面的推理形式在日常生活中是可以的，但在数学的证明过程中却一定要慎重使用，也就是说，在数学的证明过程中一定要对大前提和小前提进行明确说明，否则可能会引发错误的结论。比如，关于省略大前提的例子: 矩阵的乘法是乘法，所以矩阵的乘法满足是交换律。

这个结论是不正确的，因为矩阵的乘法不满足交换律。那么，上述推理的问题出在哪里呢?问题就在于省略的大前提:乘法满足交换律。因为这个大前提中所说的乘法是指四则运算中的乘法，而不是一般泛指的乘法。再比如，关于省略小前提的例子:凡数都可以比较大小，所以复数可以比较大小。

这个结论也是不对的，因为复数不可以比较大小。推理的错误在于省略了小前提:复数是数。回忆自然数的定义，是通过后继的概念，由0开始逐一得到的，因此，自然数可以比较大小。有理数是通过四则运算，由自然数扩张得到的，实数是通过极限运算，由有理数扩张得到的，这些运算均不改变可以比较大小的特性。而复数是通过解方程得到的，因此，复数并不是通常意义的数，不可以比较大小。