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归纳推理的思维模式

——读《数学基本思想18讲》第二部分第十三讲

徐  忆

这一讲主要讨论了归纳推理最本质的三个特征。第一，归纳推理结论的或然性包括两种情况：结论本身是确切的，结论本身是或然的。第二，归纳推理的思维基础是分类，在分类过程中既要重视共相，也要重视异相。第三，归纳推理的思维过程是动态的，动态的形式往往是缩小类，或者弱化性质。

演绎推理是基于“理念”的推理，归纳推理是基于“经验”的推理；演绎推理是追求“形式”的推理，归纳推理是追求“事实”的推理。在数学的证明过程中我们知道，演绎推理必须建立推理的前提，这就是数学的公理或者假设，在这个意义上，通过演绎推理验证的结论只不过是前提下的一种存在。据此可以认为：归纳推理是“发现”知识的推理，演绎推理是“验证”知识的推理。

一、归纳推理结论的或然性

归纳推理结论的或然性，包括两种情况。第一种情况：命题结论本身是确切的，结论正确与否是或然的，纯粹数学的所有猜想都属于这种情况，称这种情况为结论确切的归纳推理。第二种情况：命题结论本身就是以或然形式表达的，称这种情况为结论或然的归纳推理。

特别需要强调的是上述第二种情况，这是因为在日常生活和生产实践中，大量的事情发生与否、发生到什么程度是不确定的，因此命题结论本身必然要表现出某种或然性。

二、归纳推理的思维基础

抽象和想象是人类最为基础、最为本质的思维。但是人不能凭空抽象，也不可能凭空想象，必须有思维的基础。这个思维基础就是类，类是人们在观察事物的过程中在头脑中逐渐形成的东西。比如，我们看到一个新动物如果这个动物有四条腿，就会联想起马、牛等曾经经历过的与这个新动物类似的动物，这些类似的动物就在我们的头脑中形成了一个类。演绎推理的思维基础是定义和命题，而我们所说的类是构建定义和命题的前提。在这个意义上，类是构建概念的前提。这就进一步说明，归纳推理可以用于构建概念，用于发现知识。

人类头脑中的类可以通过以下方式形成：第一，通过共相得到类。针对一个具体的类，形式不一定是性质的充分条件，但形式一定是性质的必要条件。分析数学中的例子，比如自然数的分类、方程解的分类。第二，通过异相划分类。比如三角形的分类。直角三角形是分类的分水岭，直角三角形并不属于任何一个类，因此，锐角三角形的类和钝角三角形的类，或者说锐角三角形的集合和钝角三角形的集合都是开集，直角三角形是这两个集合的边界。

三、推理过程的动态性

虽然说归纳推理是通过经验过的东西推断没有经验过的东西的思维过程，但在事实上，归纳推理也是种按照某些法则进行的、前提与结论之间有逻辑联系的推理。英国哲学家穆勒在《逻辑学体系》中谈道：出于研究的目的，可以把归纳定义为发现和验证一般命题的过程。如上文所述，通过间接地判明个别事例而对那一类事例建立普遍原理，便是确切的归纳。

归纳推理思维基础是一个类。如果发现这个类中的元素具有某个性质或者符合某种规律，那么，就推断这个类中的所有元素都具有这个性质或者符合某种规律。

归纳推理是基于经验发现知识的思维过程，发现并确立知识不是一蹴而就的事情，往往需要经过反复验证。因此，归纳推理本身必然是一个动态的、不断调整的过程。