宜兴教育云

函数思想

——读《小学数学思想方法解读》第四章第三节

宜兴市广汇实验小学   李伟燕

于“变”中把握“不变”

德国天文学家开普勒(J. Kepler, 1571- 1630)曾说: “数学就是研究千变万化中不变的规律。”函数思想的核心就是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是“过程’,不变的是规律(关系)”。

函数概念产生于近,距今只有三百多年的历史,但在生活和生产中，函数作为数学模型却发挥着重要的、不可替代的作用。如利润问题、人口增长率问题、出租车计价问题....

这样的例子举不胜举,用运动和变化的观点去分析问题的数量关系.借助函数的图像和性质，使问题获得解决。运用函数思想往往可以解决其他方法不能解决的问题。

国内外教学中关于函数思想的渗透

很多国家从小学数学课程开始渗透函数思想,其中美国尤其突出。美国的(学校数学的原则与标(2000)》中提出了明确要求:在早期数学的学习阶段通过观察事物的变化，探索模式，合理引人函数。如这个标准，在k~2年级中要求学生“描述定性的变化，如学生长高了”，“描述定量的变化，如某学生一年内长了2英寸”;在3~5年级中要求学生“表示并研究个变 量的变化 如何引起相关的第二个变量的改变”，“辨认并描述存在恒定变化比率和波动变化比率的情境,并对二者进行比较”。日本的数学课程让学生从小学四年级开始接触函数关系的初步概念,对两个相依变化的数量关系进行研究并用图表表示，用式子简洁地表示数量。

从我国的数学课程发展历史看，我国真正意义上的函数学习始于1941年。在该年颁布的《修正初级小学数学课程标准》的“教学目标”中较为明确地规定要“培养学生分析能力、归纳方法、渗透函数思想”。目前,我国的小学数学课程中还未提出函数的一- 般概念，我国课程中函数概念是在初中阶段引人的，小学阶段普遍都在着力渗透。现行的《标准(2011版)》把“探索数量关系和变化规律”作为渗透函数思想的一一个重要内容。《标准(2011版)》中第一学段要求: 探究简单情境下的变化规律;第二学段要求:通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量，会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值，能找出生活中成正比例和成反比例关系的实例，并进行交流。通过-些具体实例，让学生感受数量的变化过程，以及变化过程中变量之间的对应关系,探索其中的变化规律，获得函数的感性认识。

阅读《小学数学与数学思想方法》一书后，笔者感悟到:函数思想的本质在于建立并研究变量之间的对应关系，在小学阶段,学生愿意去发现规律,并具备将规律表述出来的意识和能力，就是函数思想在教学中的渗透。刘加霞教授也曾谈到，函数思想体现在: (1)认识到这个世界是普遍联系的，各个量之间总是相互依存的，即“普遍联系”的思想;(2)于“变化”中寻求“规律”(关系式)，即“模式化”思想;(3)于“规律”中追求“有序”、“结构化”、“对称”等思想;(4)感悟“变化”有快有慢,有时变化的速度是固定的，有时是变化的;(5)根据“规律’判断发展趋势，预测未来，并把握未来。其中第(5)方面是笔者平时教学中着力渗透的一一个维度。

在教学中渗透函数思想的调研与尝试

国内外对函数思想教学的重视，也让笔者不断深思:究竟小学生在接触函数时会遇到哪些困难，在教学中又应如何渗透函数思想呢?

 (一)于“变化"中寻求规律

探索规律实际上就是培养学生的“模式化”思想，发现规律就是发现一个“模式”。如一年级下册“百数表中的规律”,在“百数表”中除了可以探索数的排列规律(横着、竖着、斜着)外，还可以进- 步探索每一行中相邻的两个数的规律、每列中相邻两个数的规律,甚至每两行与每两列相邻四个数之间的规律，这些规律中蕴含着多种变化的模式。教学中需要引导学生多角度发现规律，有能力的学生可能发现多个规律，这样，不同的学生在数学上得到了不同的发展。

(二)变静为动，活用教材

创设“变化”的过程，拓宽学生思考空间。例如关于“体积的问题”的一道练习。块长25 cm、宽20 cm的长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长是5 cm的正形,然后做成盒子。这个盒子用了多少铁皮,它的容积是多少?”这个问题是道嘴单的关于长方体表面积和容积的实际问题，当然问题解决过程中也发展了学生的空间观念。如果将原题中的问题“切掉边长是5 cm的正方形”加以改变，就会拓宽学生的思维空间。笔者改为猜想并验证“切掉边长是多少厘米正方形时，铁盒的容积最大(正方形边长为整厘米数)?你有什么新发现?”问题就由静止变得动态起来,开放性更强。有能力的学生不仅可以找到多种切割方法.还可以发现其中的费妙。借助这样运动.变化的过程，为学生提供更多寻找变化规律的机会，潜移默化地渗透了函数思想，学生思问题的角度不仅多样化，而且还可以比较、辨析、寻找规律,思维向纵深角度推进。

(三)走进生活，实践应用

教学中,为了让学生体会函数思想的价值。我们可以引导学生去思考函数的应用问题.特别是思考函数在日常生活和其他学科的应用。生活中的例子既利于激发学生“探究”的欲望，满足学生的好奇心，又能让学生感受丽数思想的应用价值。

(四)提早蕴伏,丰富体验

我们生活在永恒运动的世界，凡是有“变化”的地方就蕴含着函数思想。为了能帮助学生顺利达成第二学段感悟正反比例含义的要求，我们要提早蕴伏,反复审视我们的教材,挖掘其中的函数思想。从第一学段起我们就要有 意识地渗透函数思想,丰富学生对变量及变量关系的直观体验，促进学生的思维螺旋上升。