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什么是数学基本思想

——读《数学基本思想18讲》绪言

刘  萍

一、什么是数学基本思想

判定数学基本思想有两个原则：数学产生和发展所必须依赖的那些思想；学习过数学的人应当具有的基本思维特征。我们把数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型。

通过抽象，人们把现实世界中与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学的研究对象，；通过推理，人们从数学的研究对象出发，在一些假设条件下，有逻辑地得到研究对象的性质以及描述研究对象之间关系的命题和计算结果；通过模型，人们用数学所创造的语言、符号和方法，描述现实世界中的故事，构建了数学与现实世界的桥梁。数学教学的最终目标，是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型。

1.抽象：抽象是从许多事物中舍弃个别的、非本质属性，得到共同的、本质属性的思维过程，是形成概念的必要手段。对于数学，抽象主要包括两方面的内容：数量与数量关系；图形与图形关系。

2.推理：本质上来讲，逻辑推理有归纳推理和演绎推理两种。

归纳推理是一种从特殊到一般的推理。通过归纳推理得到的结论是或然成立的。归纳推理包括不完全归纳法、类比法、简单枚举法、数据分析等。人们借助归纳推理，从已验过的东西出发推断未曾经验过的东西。演绎推理是一种从一般到特殊的推理。通过演绎推理得到的结论是必然成立的。演绎推理包括三段论、反证法、数学归纳法、算法逻辑等。人们借助演绎推理，按照假设前提和规定的法则验证那些通过归纳推理得到的结论，这便是 “证明”。

3.模型：数学模型侧重用数学创造出来的概念、原理和方法，描述现实世界中的那些规律性的东西。通俗地说，数学模型是用数学的语言讲述现实世界中与数量、图形有关的故事。

二、在数学教育中体现数学基本思想

1.数学教育内部。

好的数学教学，教师需要理解数学的本质，创设出合适的教学情境，让学生在情境中理解数学概念和运算法则，感悟数学命题的构建过程，感悟问题的本质和数学表达的意义。虽然概念的表达是符号的，但对概念的认识应当是有具体背景的；虽然证明的过程是形式的，但对证明的理解应当是直观的；虽然逻辑的基础是基于公理的，但思维的过程应当是归纳的。

2.数学教育外部。

学生中的大多数，将来所从事的工作很可能不需要研究数学，因此，这些学生从事工作后，会把辛辛苦苦记住的那些数学概念、证明方法以及解题技能逐渐忘掉。基于这个现实，《新课程标准（2011版）》的培养目标提出了“四基”。希望学生在义务教育阶段的数学学习中，除了获得必要的数学知识技能之外，还能感悟数学思想，积累数学思维活动和实践活动的经验。史宁中教授在《义务教育数学课程标准（2011版）解读》的绪论中写道：

思想的感悟和经验的积累是一种隐性的东西，但恰恰就是这种隐性的东西在很大程度上影响人的思想方法，也是“育人为本”教育理念在数学学科的具体体现。思想的感悟和经验的积累仅仅依赖教师的讲授是不行的，更主要的是依赖学生亲自参与其中的数学活动，依赖学生的独立思考，这是一种过程的教育。

一个人会想问题，是经验的积累，是学生在独立思考过程中逐渐形成的思维习惯。因此，在基础教育阶段，一个好的数学教育，应当更多地倾向于培养学生数学思维的习惯：会在错综复杂的事物中把握本质，进而抽象能力强；会在杂乱无章的事物中理清头绪，进而推理能力强；会在千头万绪的事物中发现规律，进而建模能力强。这些，恰恰是数学基本思想的核心。