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自然数的产生

——读《数学基本思想18讲》第一部分

沈菊华

现实生活中广泛使用的自然数，产生于人们对数量的抽象，自然数之间的大小关系，产生于人们对数量之间多少关系的抽象。人们发明了十个符号和数位的方法，有效地表达了自然数，形成了十进制记数系统。为了叙述清楚这个抽象过程，需要首先讨论数量与数量关系。

数量与数量关系。从远古时代开始，在日常生活与生产实际中，人们就需要创造出一些语言来表达事物(事件与物体)量的多少。比如，狩猎收获的多少，祭祀牺牲的多少，等等。在古代中国，出现了数字，数字表达的特点是数字背后都有着具体的背景;数字表达的形式是数字后面都有后缀名词。如：-粒米、两条鱼、三只鸡、四个蛋、五匹马、六头牛、七张纸、八顶帽子、九件衣服、十条裤子，等等。称这种有史际背景的、关于量多少的数字表达为数量。

在上述表达中，那些数字还不具备数的功能。因此，只能把那些数字理解为与数量有关的事物的记载。至少可以有这两种的理解:一是背景， 二是运算。由此可见，数最不能作为数学研究的对象，数学研究的对象应当是更抽象的东西。那么，人们是如何形成数的概念的呢又是如何进行表达的呢?这就要依赖抽象。

基于对应的抽象。在小学数学的教学过程中，对自然数的抽象是基于对应的:首先，利用图形一般性地表示事物数量的多少；然后，对图形的多少进行命名；最后，把命名的东西符号化。

基于内涵的抽象。现今数学界，人们广泛认可的关于自然数的定义是皮亚诺算术公理体系，这是种基于内涵的定义。这种定义的出发点是细化了 的“大小”关系:自然数是一个一个大起来的。数学家在这种关系中抽象出“后继”的概念，皮亚诺用“后继”的概念定义了自然数。

自然数的古典表达。因为自然数的数量无穷多，因此在原则上，表达所需符号也无穷多，这是一个天大的难题。于是，聪明的人类发明进位的方法，使得有些符号可以重复使用。如果记数规则是十进制的，那么，除了一到九的符号之外， 还需要创造出十进位记数符号。

自然数的现代表达。表示自然数的关键是十个符号和数位。十个符号是基于+进制的，因为使用二进制只需要两个符号。人们之所以采用十进制，大概与人有十根手指有关，人们通过对应的方法认识了自然数，十进制就是把事物的数量与十根手指相对应，比如在现代汉语中，表述数量较少时，便形容这个数量为屈指可数。在现实生活中，与数量有关的表述方法还有十二进制和六十进制，这此规定大多与时间有关，进而与古代历法有关。

从自然数的古典表达发展成为现代表达，需要一个小小的发明，使自然数的表达摆脱十、百、千，或者，X, C, M这些记数符号的束缚。今天看来似乎是一件非常容易的事情，但这个小小的发明至少经历了几个世纪的时间。这个发明就是数位:在不同数位数字符号的意义不同。数位的想法类似于古代中国发明的算盘:同样多的算珠在不同位置表示的量不同。问题的难点在于如何用符号表达这个功能，也就是说，如何用符号表达算盘中的空档，这个符号就是零。

从小到大，或者从左到右，自然数十进位数位法则规定依次相差十倍:从“个”开始，十个“个”是“十”、十个“十”是“百”、十个“百”是“千”，十个“千”是“万”， 等等。因此，自然数的数位均与10有关:从10的0次方开始，然后是10的1次方、2次方、3次方、4次方，等等。

数位和数是不同的。例如，用千位表示的最大数是9999，现在又多了个1，应当如何称呼这个新的数呢？在中国，人们称这个数是“一万”，在西方，人们称这个数为“十千”，虽然名称不同，但这个数的表达符号是一致的——10 000。

因此，人类从最初发明用自然数表达数量，到最终完成十进制自然数的记数系统，经历了一个相当漫长的抽象过程。 这个过程最初是为了日常生活的需要，然后是为了数学自身发展的需要。