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数学的抽象:从现实进入数学

——读《数学基本思想18讲》第一部分

张  佳

在绪言中，作者已经述说了为什么抽象可以作为数学的基本思想。虽然就数学的研究对象和研究对象之间的关系而言，通过抽象得到是数学的语言或者定义，但语言或者定义的作用是不可估量的。

思想与语言之间的关系大体是这样的：一方面，无论是思维的过程还是表达的过程，都是语言承载着思想；另一方面，思想是思维的结果，体现了语言产生、发展与表达的内心活动。

为了清晰地理解什么是抽象，需要先明确关于抽象的两个基本问题：一个问题是抽象的过程，另一个问题是抽象的存在。

一、抽象的过程。

就数学的研究对象而言，数学的抽象经历过两个队段:第一阶段的抽象是基于现实的，第二阶段的抽象是基于逻辑的。统观数学研究对象的抽象过程，大体上有两种定义的方法:一种方法是基于对应的，另一种方法是基于内涵的。

而一个具体数学概念的抽象过程，大体可以分为三个阶段，或者说三个层次。第一阶段是简约阶段:把握事物关于数量或者图形的的本质，把繁杂问题简单化，给予清晰表达。第二阶段是符号阶段:去掉具体内容，利用符号和关系术语，表述已经简约化的事物。第三阶段是普适阶段：通过假设和推理，建立法则、模式和模型，在一般意义上描述一类事物的特征或规律。

二、抽象的存在。

抽象的东西是存在的，因为只有基于这种存在，人们才可能对抽象的数学对象进行研究和交流。但这种存在绝不是现实的存在，而是抽象的存在，是那种存在于人们的大脑之中的，并且可以取得人们普遍共识的东西。比如，我们看到足球、看到苹果，会形成圆的概念，离开了足球和苹果，在大脑中依然有圆的概念存在。依赖这个存在，我们可以在黑板上画出圆，可以在一起讨论圆，甚至可以给出圆的定义、研究圆的性质，这是一个由感性具体上升到理性具体的思维过程。在这个意义上，我们研究的不是曾经看到的足球、苹果这样具体的圆，也不是在黑板上画出的那个圆，而是在大脑中存在了的抽象的圆。正因为如此，数学的研究才具有一般性。善于画竹的郑板桥说得最为生动:我画的是我心中之竹，而不是我眼中之竹。

总之，我们可以这样把握数学概念产生的思维过程:数学概念的形成是从特殊开始的，数学概念的思维是从直觉开始的。对于数学的抽象而言，构造的理性知识，或者说，具有结构的理性知识是非常重要的，因为数学最终是要形成抽象结构的。