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数学的推理：数学自身的发展

——读《数学基本思想18讲》第二部分

俞   洁

与抽象一样，推理也是数学最为显著的特征。人们通过抽象，得到数学的研究对象和研究对象之间的关系。数学的研究对象最终以定义的形式出现，可以是基于对应的定义，也可以是基于内涵的定义，如自然数、实数、点、线、面等。数学研究对象之间的关系包括两方面的内容，一方面的内容是研究对象的度量与运算，包括长度、面积、角度的度量，以及加、减、乘、除、极限这五种运算；另一方面的内容是表示关系的逻辑术语，这些术语具有因果、转折、递进、对比、补充、选择等功能，如存在、相等、属于、介于、平行、垂直、因为、所以等。

数学的推理，就是把表示关系的运算方法、逻辑术语运用于研究对象，得到数学的结论或者验证数学的结论。因为数学的结论最终可以归结为数学命题，因此，数学推理就是得到数学命题或者验证数学命题的思维过程。在这个意义上，就数学思想而言，数学研究对象的确立依赖的是抽象，数学内部自身的发展依赖的是推理。

第二部分包括六讲，主要讨论什么是数学的推理、数学推理方法本身的合理性，最终目的是实现数学推理过程的条理化。数学的结论各式各样，得到结论的思维过程和验证结论的思维过程更是百花齐放，那么，应当如何在这些错综复杂的思绪中抓事物本质、理清思维脉络呢？笛卡儿在《探求真理的指导原则》的第六个原则中说：

要从错综复杂的事物中区别出最简单事物，然后进行有秩序的研究。这就要求我们在那些已经通过演绎得到真理的推理过程中，观察哪一个事物是最简单项，以及观察这个项与其他项之间关系的远近，或者相等。

笛卡儿认为这个原则是他这部著作中最有用的，是揭示科学奥秘的基本方法。笛卡儿所说的研究方法的实质就是，把要进行推理的事物排成一个系列，然后找出系列中的最简单项进行逐项判断。对于数学的论证，笛卡儿所说的系列就是由条件出发，最后得到结论的整个过程，这个过程是由一些最简单项首尾连接而成的。因此，讨论数学的推理，就是要认清推理过程中的最简单项是什么，然后从这些最简单项入手，讨论最简单项的特征，讨论推理过程中最简单项之间是如何首尾连接的，进而讨论数学的推理是如何作为的。

许多人会把数学的推理等同于数学的证明，因为数学证明的思维过程依赖的是演绎推理，于是认为数学推理就是演绎推理，甚至认为逻辑推理就是演绎推理。这种认识不仅是不全面的，甚至对于数学教育还是有害的，我们将在第二部分认真地论述这个问题。

数学的推理是一种有逻辑的推理，其中的逻辑性就表现在上面所说的推理过程中最简单项之间的首尾相接，第二部分的讨论将会显示，逻辑推理既包括演绎推理也包括归纳推理。在一般情况下，人们借助归纳推理“推断”数学的结果，借助演绎推理“验证”数学结果。在这个意义上，数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的。

虽然数学不是经验科学，也不是实验科学，但数学概念的形成依赖基于经验的抽象，数学推理的过程依赖基于直觉的思维。因此，经验的积累，特别是思维经验和实践经验的积累对于学习数学是至关重要的，学习数学的要义不仅仅是为了“记住”一些东西，甚至不仅仅是为了掌握一些“会计算”“会证明”的技巧，而是能够“感悟”数学所要研究问题的本质，“理解”命题之间的逻辑关系，在“感悟”和“理解”的基础上学会思考，最终形成数学的直觉和数学的思维。